📘 analyse

1. Énoncé du problème : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{3}$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n}{u_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout $n$, $0 < u_n

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a $n \ln(a_n) + \ln(b_n) = 0$ avec $a_n = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ et $b_n = \frac{n^n}{n!}$. 2. **F

1. Énoncé du problème : Montrer qu'une famille $(x_i)_{i \in I}$ est sommable signifie démontrer que la somme de ses éléments converge. 2. Formule et définition : Une famille $(x_i

1. **Énoncé du problème Partie A :** Calculer la limite $$\lim_{x \to -5} \frac{x+5}{x^2 + 3x - 10}$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer une limite, on peut essa

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ selon plusieurs questions : domaine, limites, dérivabilité, dérivée, variations, position relative à la dr

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$. 2. **Détermination du domaine de définition $D_f$ :**

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$.

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions définies par

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x(\sqrt{x} - 2)^2$ définie sur $[0, +\infty[$. 2. **Calcul des limites :**

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x - 2| + |x + 2|}{|x| - 1}.$$

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{|x-2| + |x+2|}{|x|} - 1$$

1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$ par

1. Le problème consiste à dresser le tableau de variation d'une fonction donnée. 2. Pour cela, il faut d'abord connaître la fonction et son domaine de définition.

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$g(x) = 2x \ln x - x - 1.$$ Nous devons étudier ses limites, variations, racines, puis étudier la fo

1. Énoncé du problème : Montrer que l'équation $ (x + 1) \ln \sqrt{x} = x^2 - 2019x - 2018 $ admet une seule solution sur $[1, +\infty[$. 2. Définissons la fonction $f(x) = (x + 1)

1. **Énoncé du problème** : Montrer que l'équation $ (x+1) \ln \sqrt{x} = x^2 - 2019x - 2018 $ admet une seule solution sur l'intervalle $[1, +\infty[$. 2. **Réécriture de l'équati

1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité de $f(x) = \frac{x}{x-1} \sqrt{x^2+1}$ d'ordre 2 en 0. 2. **Formule et règles importantes :**

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices principaux avec plusieurs questions.

### Exercice 1 1. **Énoncé :** Pour tout entier $k \in [2,n]$, on pose $$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2 - k}.$$

1. Énonçons le problème : Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x} = 0$$. 2. Rappelons la règle importante : lorsque le dénominateur croît plus rapidement que le numé

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction