📘 analyse

1. Énonçons le problème : On nous donne la fonction $f(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{\sqrt{1-x}}\right)$ définie sur $]-1,1[$. 2. La question est de vérifier si le développement en sé

1. **Énoncé du problème :** Soit $f$ une fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ avec $f'(x) = -3x - 1 + (x + 3)\sqrt{x}$.

1. Énoncé du problème : On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $$f(x) = (x - 2)\sqrt{x} - \frac{1}{2}x.$$ Nous allons étudier la fonction, calculer sa dérivée, pui

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par $$f(x) = \frac{3 - 2x}{x + 1}.$$

1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $$f(x) = (x - 2) \sqrt{x} - \frac{1}{2} x$$

1. **Énoncé du problème :** On pose $S_n = M_0 M_1 + M_1 M_2 + M_2 M_3 + \cdots + M_{n-1} M_n$. Il s'agit d'exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis d'étudier la convergence de la su

1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x)$ est minorée par 1 sur l'intervalle $[-1;0]$ signifie que pour tout $x$ dans $[-1;0]$, on doit avoir $f(x) \geq 1$. 2. Pour

1. **Exercice 1 : Limites de suites** Nous devons déterminer la limite de la suite $u_n$ dans chaque cas donné.

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 4x - 3 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_n^2 + 2}$ avec $u_0 = 3$, on a $u_n > \sqrt{6}$ pour tout $n \in \mathbb{N}

1. **Énoncé du problème :** Déterminer la limite de la suite $u_n = \frac{5n^2 - 3n + 7}{n^2 + n + 1}$ lorsque $n \to \infty$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour les suite

1. Énonçons le problème : on cherche à comprendre pourquoi on définit la fonction $f(x) = (e^x - 1) \ln(e^x - 1)$.\n\n2. Cette fonction combine une expression exponentielle $e^x -

1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite des fonctions données en 0 et en plus l'infini. 2. **Fonction a)** : $f(x) = x^2 - 3x - \ln(x)$ avec $x > 0$ car $\ln(x)$ est défini p

1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite de la fonction $f(x) = \ln(x) - x^2$ en $0^+$ et en $+\infty$. 2. **Rappel des définitions et règles importantes** :

1. Énonçons le problème : Étudier la limite de la fonction $f$ en $0$ puis en $+\infty$. 2. Pour étudier la limite d'une fonction en un point, on regarde le comportement de la fonc

1. **Énoncé du problème** : Étudier la limite de la fonction $f$ en $0$ puis en $+\infty$ pour la fonction $f(x) = \ln(x) - x^2$.\n\n2. **Rappel des définitions et règles important

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions définies par :

1. **Énoncé du problème** : On a deux fonctions définies par $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$

1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$. 2. **Domaine de définition (Df0)** : La fonction est définie pour tous les réels sauf là où le d

1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $U_{n+1} - U_n = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} (U_n - 1)$, puis en déduire que la suite $(U_n)_{n \geq 0}$ est décroissante et convergente.

1. **Énoncé du problème :** Soit $x \in ]0,1[$, calculer la limite de la somme partielle de la série géométrique $$S_n = \sum_{k=0}^n x^k$$ lorsque $n$ tend vers l'infini.