📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** Étudier la dérivabilité à droite en 0 de la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$. Interpréter graphiquement le résultat. 2. **Fo

1. **Énoncé du problème :** Montrer que si une suite est convergente, alors sa limite est unique. 2. **Formule et règles importantes :** Une suite $(u_n)$ converge vers une limite

1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = e^{-kx}$ puis calculer la somme $\sum_{k=0}^n e^{-kx}$.\n\n2. **Formule et règles importantes :**\n- La dériv

1. Énoncé du problème : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \begin{cases} x^3 \ln|x| & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

1. Énonçons le problème : Quand est-ce qu'une fonction est définie au voisinage d'un point $a$ ? 2. Une fonction $f$ est dite définie au voisinage de $a$ si elle est définie sur un

1. Énonçons le problème : expliquer rigoureusement la définition topologique de la limite d'une fonction dans le cadre des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE). 2. Défin

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et $U_{n+1}=f(U_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Il faut montrer que $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$ définie sur $\mathbb{R}^+$. Trouver son domaine, limites, dérivabilité, variations, tangente en $x=4$, et

1. Énoncé du problème : Étudier la limite de $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x$ tend vers 0. 2. Formule et règles importantes : La fonction $\cos(t)$ est bornée entre -1 et

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions :

1. **Énoncé du problème :** Trouver les domaines de définition des fonctions $f$ et $g$ définies par $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x} \quad \text{et} \quad g(x) = \sum_{

1. Énoncé du problème : Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}}$ pour $n\geq1$ est croissante et majorée par 2. 2. Formule et règles importantes :

1. **Énoncé du problème** : Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et pour $n \geq 1$, $u_n = \sqrt{2 + u_{n-1}}$. Montrer que cette suite est croissante et

1. **Énoncé du problème :** Déterminer l'ensemble de définition $D_1$ de la fonction $f$ définie par $$f(x) = x(\ln x)^2 + x, \quad x > 0$$ et $f(0) = 0$. 2. **Formule et règles im

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$g(x) = \ln(x + 1) - x$$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(x) = \ln(x+1) - x$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + \ln(x) - \frac{2}{\ln(x)}$$ et sa courbe représentative $(C_f)$. 2. **Domaine de définition :** La fonc

1. **Énoncé du problème :** Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une application croissante. On définit l'ensemble $E = \{x \in [0,1] : f(x) \geq x\}$. Montrer que $E$ admet une borne supéri

1. **Énoncé du problème :** Trouver le développement limité de la fonction

1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x) = \ln(\ln x)$.\n\n2. Rappelons que la fonction logarithme naturel $\ln(x)$ est définie uniquement po

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{3 - x}}$ lorsque $x$ tend vers $3$ par la gauche, c'est-à-dire $\lim_{x \to 3^-} f(x)$, puis in